các khái niệm cơ phiên bản 1. Hàm số đối số nguyên Hàm có tập khẳng định thuộc Z call là hàm số có đối số nguyên. Ký hiệu y = f(n). Ví dụ: f(n) = n2 + n – 1 f(n) = n3 + 1 f(n) = sina (a là hằng số) 2. Định nghĩa không nên phân: không nên phân của hàm số Un là chênh lợi nhuận trị của hàm số trên hai giá trị sau đó nhau. Cam kết hiệu: ΔUn = Un +1 – Un không nên phân cấp m của hàm số Un là sai phân của sai…

Đang xem: sai phân là gì




Bạn đang xem: Sai phân là gì

*

U2 = p.U1 + q.U0 = Aux2 + Buy2.Chứng minh bằng quy nạp, ta có Un = Au.xn + Bu.yn mọi nghiệm của (3) đều màn trình diễn qua xn cùng yn đ.p.c.mTa tìm nghiệm riêng bên dưới dạng xn = λn (λ 0).

nỗ lực vào (3), ta có: λn+2 + p.λn+1 + q.λn = 0 λ2 + pλ + q = 0 (4).Phương trình (4) gọi là phương trình đặc thù của (3).Trường vừa lòng 1: trường hợp (4) gồm hai nghiệm thực phân biệt λ1 và λ2 (3) tất cả hai nghiệmriêng hòa bình tuyến tính xn = λ1n cùng yn = λ2n .Nghiệm bao quát Un = C1 λ1n + C2 λ2nTrường vừa lòng 2: nếu như (4) có nghiệm kép là λ0, (3) gồm hai nghiệm riêng độc lập tuyếntính xn= λ0n cùng yn = n.λ0n .Nghiệm tổng quát Un = (C1+ nC2) λ0n p. .iTrường thích hợp 3: giả dụ (4) tất cả hai nghiệm phức λ1,2 = =A Bi 2 B p. ) và với r = A2 + B2 với α = arctgA .(A = ,B= 2 2 λ1,2 = r(cosα i.sinα)PT (3) bao gồm hai nghiệm riêng tự do tuyến tính là xn = rn.cosnα và yn = rn.sinnαNghiệm tổng quát Un = rn . 4Ví dụ 1: tìm kiếm nghiệm un+2 = 5un+1 + 6un biết u0 = 1, u1 = 0Bài làm:Phương trình quánh trưng: λ2-5λ + 6 = 0 λ1 =1 cùng λ2 = 2Vậy nghiệm tổng quát un = A + B.2n. U0 = A + B = 1 Hệ phương trình u 1 = A + 2B = 0 A = 2 và B = -1. NVậy nghiệm riêng ưng ý là un = 2 – 2 5Ví dụ 2: tìm nghiệm un+2 = 2 un+1 – un biết u0 = 0, u1 = 1 5 1Bài làm: Phương trình quánh trưng: λ2- 2 λ+1 = 0 λ1 = 2 cùng λ2 = 2 1Vậy nghiệm tổng quát un = A 2n + B.2n. U0 = A + B = 0 Hệ phương trình A 2 2 u1 = 2 + 2B = 1 A = -3 v à B = 3 . 2Vậy nghiệm riêng đề nghị tìm là un = 3 (2-n – 2n)Ví dụ 3: tìm nghiệm un+2 = 10un+1 – 25unBài làm:Phương trình đặc trưng: λ2- 10λ + 25 = 0 λ1 = λ2 = 5Vậy nghiệm tổng quát un = (A + Bn)5nVí dụ 4: tìm nghiệm un+2 – 2un+1 + un = 0 biết u0 = 1, u1 = 2Bài làm:Phương trình sệt trưng: λ2- 2λ+1 = 0 λ1 = λ2 = 1Vậy nghiệm tổng quát un = A + Bn u0 = A = 1 Hệ phương trình u1 = A + B = 2 A = B = 1.Vậy nghiệm riêng nên tìm là un = 1 + nVí dụ 5: tìm kiếm nghiệm un+2 – un+1 + un = 0Bài làm: Phương trình quánh trưng: λ2- λ+1 = 0 3 2 1 i3 1 3 (2)2 + ( 2 )2 = 1, tgα = 1 = 3 λ1,2 = ,r= 2 2 5 α=3 λ1,2 = cos 3 i.sin 3 n. N.Vậy nghiệm tổng quát un = Acos 3 + Bsin 3Ví dụ 6: tìm kiếm nghiệm un+2 – 2un+1 + 4un = 0, u0 = u1 = 1Bài làm:Phương trình quánh trưng: λ2- 2λ+4 = 0 12 +( 3 )2 = 2, tgα = 3 λ1,2 = 1 α=3 λ1,2 = 2(cos3 i. 3 , r = i.sin3 ) n. N.Vậy nghiệm tổng quát un = 2n(Acos 3 + Bsin 3 ) u0 = A = 1Hệ phương trình u1 = 2(cos3 + Bsin3 ) = 1 A = 1 và B = 0. N.Vậy nghiệm riêng đề xuất tìm là un = 2n.cos 32. Phương trình không đúng phân tuyến đường tính ko thuần độc nhất vô nhị Dạng Un+2 + pUn+1 + qUn = r (5) (r 0)Ta search nghiệm riêng biệt U*n của (5) : ? r+) giả dụ p+q -1 thì nghiệm riêng biệt là : U*n = 1pq+) ví như p+q = -1 rn Khi phường -2 thì nghiệm riêng biệt là : U*n = p2 rn 2 * Khi p. = -2 thì nghiệm riêng là : U n = 2Từ nghiệm của PT thuần nhất link ta suy ra nghiệm tổng quát của (5).Trường hòa hợp Un+2 + pUn+1 + qUn = f(n) ta xét sinh sống dạng tổng quát cho PT không nên phân tuyếntính hệ số hằng cung cấp k.V. Phƣơng trình sai phân con đường tính cấp k thông số hằng.1. Phương trình không nên phân con đường tính thuần nhất cung cấp k hệ số hằng:Là phương trình bao gồm dạng: ak.Un+k + ak-1.Un+k-1 + … + a0.Un = 0 (6)Trong kia a0, a1, …, ak là các số thực. 6Ta tra cứu nghiệm riêng bên dưới dạng Un = λn, cố kỉnh vào (6) ta tất cả phương trình sệt trưng:ak.λk + ak-1.λk-1 + … + a0.λ = 0 (7)Trường thích hợp 1: nếu như (7) tất cả k nghiệm thực sáng tỏ λ1, λ2, … λk ta bao gồm k nghiệmriêng hòa bình tuyến tính x1n = λ1n, … xkn = λkn .Nghiệm tổng thể : Un = C1. λ1n + C2. λ2n + … + Ck. λknTrường hòa hợp 2:Nếu (7) gồm nghiệm bội, chẳng hạn λ1 bao gồm bội s với k-s nghiệm thực phân biệt:λ1 = λ2 = … = λs , ta sửa chữa thay thế s nghiệm riêng biệt x1n, x2n, …, xsn khớp ứng bằng: x1n = λ1n,x2n = nλ1n, … , xsn = ns-1.λ1n.Nghiệm bao quát : Un = (C1+n C2 + … + ns-1Cs) λ1n + Cs+1 λ1n+…+ Ck. λknTrường thích hợp 3: giả dụ phương trình (7) bao gồm nghiệm phức, chẳng hạn λ1 = r(cosα +i.sinα)thì sẽ có được nghiệm phức liên hợp λ2 = r(cosα – i.sinα) cùng k-2 nghiệm thực phân biệt, khiđó tương xứng ta sửa chữa thay thế x1n = rn.cosnα với x2n = rn.sinnα trong nghiệm tổng quát.Nghiệm tổng thể : Un = rn + C3. λ3n … + Ck. λknVí dụ 1: search nghiệm un+3 – 10un+2 + 31un+1 – 30un = 0.Bài làm: Phương trình đặc trưng: λ3 -10λ2 + 31λ -30 = 0 λ1 =2, λ2 = 3 và λ3 = 5Vậy nghiệm tổng thể un = A1.2n + A2.3n + A3.5nVí dụ 2: kiếm tìm nghiệm un+3 – 7un+2 + 16un+1 – 12un biết u0 = 0, u1 = 1, u2 = -1Bài làm: Phương trình quánh trưng:λ3 – 7λ2 + 16λ -12 = 0 λ1 = λ2 = 2 với λ3 = 3Vậy nghiệm tổng thể un = (A + n.B)2n + C.3n u0 = A + C = 0Có hệ phương trình u1 = 2A + 2B + 3C = 1 u2 = 4(A + 2B) + 9C = -1 A = 5, B = 3 cùng C = -5.Vậy nghiệm riêng tán thành là un = (5 + 3n).2n – 5.3nVí dụ 3: tra cứu nghiệm un+3 – un = 0Bài làm: Phương trình sệt trưng: λ3 -1= 0 1 i3 λ1 = 1, λ2,3 = 2 = cos3 i.sin3 n. N.Vậy nghiệm bao quát un = A + Bcos 3 + Csin 3 72. Phương trình sai phân con đường tính ko thuần nhất cấp cho k thông số hằngLà phương trình dạng: ak.Un+k + ak-1.Un+k-1 + … + a0.Un = fn (8)Trong đó a0, a1, …, ak là các số thực, fn 0n.Phương trình thuần nhất khớp ứng ak.Un+k + ak-1.Un+k-1 + … + a0.Un = 0 (6).Bổ đề: Nghiệm bao quát của phương trình (8) bởi nghiệm tổng thể của phươngtrình (6) cùng với nghiệm riêng bất kỳ của (8).Chứng minh:Giả sử đất nước hình chữ s là nghiệm tổng thể của (6) cùng xn là nghiệm riêng của (8).Đặt un = đất nước hình chữ s + xn.Ta có: ak.Un+k + ak-1.Un+k-1 + … + a0.Un= ak(vn+k + xn+k) + ak-1(vn+k-1 + xn+k-1) … + a0(vn + xn)= (ak.vn+k + ak-1.vn+k-1 + … + a0.vn)+(ak.xn+k + ak-1.xn+k-1+…+ a0.xn)= 0 + fn = fn un = vn + xn.Ngược lại hiệu 2 nghiệm riêng ngẫu nhiên của (8) cũng chính là nghiệm riêng biệt của (6). Vậynghiệm tổng quát của (8) bằng nghiệm bao quát của phương trình (6) cùng vớinghiệm riêng ngẫu nhiên của (8).Cách tìm kiếm nghiệm riêng rẽ xn fn = Pm(n) = bmnm + bm-1nm-1 + … + b1n + b0Trường vừa lòng 1:Nếu λ = 1 là nghiệm cung cấp s của phương trình đặc thù ( s có thể nhận giá trị 0) thìnghiệm riêng tất cả dạng xn= ns(cmnm + cm-1nm-1+…+ c1n + c0) cùng tìm ci bởi phươngpháp thông số bất định. Nếu λ = 1 ko là nghiệm của phương trình đặc thù thì nghiệm riêng bao gồm dạngxn= Cmnm + Cm-1nm-1+…+ C1n + C0 với tìm Ci bằng cách thức hệ số bất định. Fn = Pm(n).βnTrường phù hợp 2: nếu λ = β là nghiệm cung cấp s của phương trình đặc trưng (s rất có thể nhận quý hiếm 0) thìnghiệm riêng có dạng xn= Qm(n).ns.βn, cầm cố vào phương trình search Qm(n) bởi phươngpháp hệ số bất định. Nếu λ = β không là nghiệm của phương trình đặc thù thì nghiệm riêng tất cả dạngxn= Qm(n).βn, nạm vào phương trình kiếm tìm Qm(n) bằng phương pháp hệ số bất định. Fn = Rl(n) + Pm(n).βnTrường thích hợp 3: Ta tìm kiếm nghiệm riêng biệt dạng xn = x1n + x2n. 8Trong đó x1n là nghiệm riêng biệt ứng với f1(n) = Rl(n) (đưa về trường hợp 1) và x2n lànghiệm riêng biệt ứng với f2(n) = Pm(n).βn (đưa về trường vừa lòng 2). 5Ví dụ 1: tra cứu một nghiệm riêng rẽ của phương trình un+2 – 2 un+1 + un = n2 + n + 1 5 1Bài làm: Phương trình đặc trưng λ2 –2 λ+1 = 0 λ1= 2 và λ2 = 2 λ = 1 ko là nghiệm ta search nghiệm riêng dạng xn= an2 + bn+ cThay vào phương trình, ta có: 5a(n+2)2+b(n+2)+c – 2 + an2+bn+c = n2+ n+1. Xn = -2n2 + 2n – 10Đồng nhất hệ số a = -2, b =2 với c = -10Ví dụ 2: tra cứu một nghiệm riêng biệt của phương trình un+2 – un = 6n2 + 12n + 8Bài làm: Phương trình đặc thù λ2 –1 = 0 λ1= 1 cùng λ2 = -1 λ = 1 là nghiệm đối kháng ta search nghiệm riêng dạng xn= n(an2+bn+c) x n = n3Thay vào phương trình a = 1, b = c = 0 5Ví dụ 3: tìm một nghiệm riêng của phương trình un+2 – 2 un+1 + un = 3n 5 1Bài làm: Phương trình đặc thù λ2 –2 λ+1 = 0 λ1= 2 với λ2 = 2 ta tìm nghiệm riêng dạng xn= A.3n λ = 3 không là nghiệm 5 2 2Thay vào phương trình, ta có: A.3n+2 – 2 A.3n+1 + A.3n = 3n A = 5 xn = 5 .3n un+2 – un+1 – 2un = -3.

Xem thêm: Hướng Dẫn Cách Đeo Nhẫn Ty Huu Theo Phong Thủy, Đeo Nhẫn Tỳ Hưu Đúng Cách, Giúp Gặt Hái Tài Lộc

2nVí dụ 4: tìm kiếm một nghiệm riêng của phương trìnhBài làm: Phương trình đặc thù λ2 – λ – 2 = 0 λ1= 2 cùng λ2 = -1 λ = 2 là nghiệm 1-1 ta kiếm tìm nghiệm riêng rẽ dạng xn= A.n.2n 1 -nThay vào PT, ta có: A(n+2)2n+2 – A(n+1)2n+1 – 2A.n.2n = -3.2n A = – 2 xn = 2 .2nVí dụ 5: kiếm tìm một nghiệm riêng rẽ của phương trình 5 un+2 – 2 un+1 + un = n2 + n + 1 + 3n 2Bài làm: Áp dụng ví dụ như 1 với ví dụ 3 nghiệm riêng rẽ xn = -2n2 + 2n – 10 + 5 .3n6. Ứng dụng của phƣơng trình không đúng phân 9